在直观与抽象中探寻数学本质

直观与抽象，是儿童数学学习过程中无法回避的一个问题。化抽象为直观，可以发展学生的概念表征能力、描述问题能力、分析问题以及解决问题的能力；而抽象是学生在头脑中对客观事物的属性和特点进行分析、比较、综合的基础上，舍弃其非本质属性而抽取其本质属性的思维方式，是孩子真正接近数学本质和形成概念的重要过程。低年级的数学教学中，学生对于所学习内容的数学本质触摸到哪里很大程度上就取决于执教老师对于直观和抽象的运用程度，我们就以一年级的《九加几》为例来看数学中的直观与抽象。

一、直观素材助力理解表达

这一节课最大的魅力就是直观，很多细节的处理很有独到之处，值得我们一而再再而三的玩味。

比如在新授的过程中，教师在黑板上贴出一个十格的盒子，并逐一贴上9个红苹果，最后留下一个空格。然后逐一贴上了4个青苹果。

师：看图你知道了什么，能提出什么问题？

在学生提出问题并且列式之后，教师请学生交流算法。

生：我是这样算的，10+4=14，因为这里只有9个苹果，9比10少1，所以9+4=13。

教师请听明白的孩子再次介绍了算法，帮助学生理解之后询问其他方法。

生：我是把拿一个青苹果放到盒子里面去，盒子里面正好是10个，外面还有3个，一共是13个。

教师请听明白的学生复述算法，并且边解释边移动黑板上贴的苹果数量，同时形成算式。

直观素材是揭示数学对象的性质和关系的有力工具。人们在认识和理解抽象数学概念的过程中往往要使用视觉形象来表征数学问题，从而更加直观、清晰地了解知识的实质和关键，从而达到理解和接受抽象的数学内容和方法的目的。

这里“凑十法”是在十进制上产生的一种计算策略，一年级的孩子对于“十进制”这样一个抽象概念的理解尚未清晰建立，十格的盒子这样一个直观的道具有力的冲击了孩子的感官，于无形之中帮助孩子搭建了“十进制”的理论框架，把孩子的思维引向了“凑十”。可以移动的苹果提供了学生直接操作的机会，有利于学生将直观的经验转化为数学思想。

直观素材的呈现与现实活动的卷入，使得学生对于“凑十法”的揭示，不再是教师的“告之”而是学生自己产生的主观需求，学生对“凑十法”的理解达到了“概念性水平”，是对概念本质的把握。

与此同时，直观素材帮助学生表达了自己的数学思想。数学抽象地反映了客观世界，客观世界的数量关系对应着数学的代数结构。在数学学习的过程中，由于受到学生知识经验和思维水平的限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的概念或者性质，“摆一摆、移一移”这样的直观活动能够给学生提供形象的自主思考和表达的机会，帮助学生把头脑里的“数学事实”外显化。

二、直观推动思维发展

在新授完成之后，教师进行了一个数学游戏。同座位一人拿出9根绿色小棒，另一人拿出几根红色小棒，放在一起求和，并且互相说一说计算的方法。

汇报时，教师请在黑板上摆小棒，并汇报自己的计算过程。汇报结束之后，黑板上留下了9到学生出的9加几的例子和3组小棒图。

紧接着，教师引导学生读一读这9道算式，并尝试在读的过程中发现规律。

以往我们在教学过程中，常常也会通过游戏的形式找到从9+1到9+9这9道算式，并尝试请学生进行整理，并读一读发现算式中的规律即：9加几的结果都是十几，并且得数的个位总比几少一，在发现规律之后再请孩子思考为什么总是少1呢？这个少掉的1哪里去了呢？在以往的教学过程中我们总发现这个环节存在如下两个问题：第一、能发现这个规律的总是极少数孩子，而这部分孩子的发现也往往来源于之前的超前学习经验或者教师的刻意引导。第二、在按照顺序整理好算式之后学生往往容易发现竖着的规律，而忽视横着看的规律。

直观素材是推动学生思维发展和深刻性的有利工具。这里黑板上三道小棒图的呈现，特别是红绿两种颜色的区别特别有利于学生进行观察和比较、分析和想象，并在此基础上展开更丰富多彩的直观推理，进而洞察数学对象的结构和关系，直观的获得“结果里面少掉的那个1是去和9凑10了”这样一个抽象的结论。而相对凌乱的算式避免了学生对于纵向规律无意义的探寻，更加集中火力探寻横向的规律。

对于学生来说，很多时候解题的灵感来源于对直观素材的观察，直观素材的提供使得学生展开想象和创造性的探求活动成为了可能。可以说，直观素材启迪了学生的思维，不但丰富了孩子对“凑十法”的理解，也促进了学生思维的灵活性。

三、抽象直抵数学本质

抽象性是数学最本质的特征之一。数学的威力就在于它的抽象性：越撇开内容，就越有广泛应用的可能。因此，引导并训练学生逐步学习科学的抽象，提高他们的思维水平，促进他们的智慧发展，是数学教育的重要内容。

《九加几》作为加减法重要的基础，可以说是一枚至关重要的种子，而这一课的数学本质在于应该在于建立9和10的联系，无论我们是把9假想成10来加最后再减1，还是拆小数和9凑成10，最关键的都是把9转化成10，因为10加几就等于十几。

在教学九加几这个内容的时候在完成了算法的多样化之后，老师们一定会进行算法的优化，但是在优化的过程中我们常常会出现尴尬。比如有老师问“学习了这么多种方法，你最喜欢哪一种呢？”或者像提问“比较这三种方法，你觉得哪种更为简便呢？”学生常常不领情，感受不到“凑十法”的优越性。

其实在这里，方法的选择固然重要，但是更重要的是发现这些方法的共性都是把九加几转化成十加几。所以，在优化算法之前，我们如果加上一问“刚刚同学们介绍了这么多种方法，你觉得它们之间有没有共同的地方呢？”数学中方法之间的求同是重要的，求同的过程往往就是推动学生进一步抽象出数学本质的过程。