探究圆的周长
南京师范大学附属小学 陶金珍
数学知识的学习不是一种告知，而是要学生去发现、去探究，这样的过程是一个探寻的过程，也是一种学习的过程，更是一种享受的过程。布鲁纳所说：“知识的获得是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的主动参与者。”任何新知识都有它的发生、形成和发展过程，重视这个过程，才能让学生在积极参与的过程中，充分发挥他们的学习主体作用，使知识很好地内化，使认知结构发生质的变化。
苏教版五年级下册要学习有关圆的知识。如何让学生探究圆周率呢？直接告诉圆周率当然不符合学生的认知要求，通过测量几组数据算出圆的周长与直径的倍数关系，然后告知圆周率的含义，介绍祖冲之的研究，这是我前面几届教学时常用的方法。但是，这个过程总觉得还是不够到位，学生测量的误差也会很大，对这个结果半信半疑，最后就是遵从书本与老师，被动接受知识。所以，本学期我在教学这个内容的时候，试图在方法上做一点调整，这样安排教学过程。
1、确定圆的周长与直径是有联系的。
先通过例题让学生观察：圆的周长与什么有关？
这三个圆的周长各不相同，很显然，是直径（半径）越大周长越大，由此得出圆的周长与直径（或半径）的长短有关，直径越大，周长越长，直径越小周长越短。
2、确定周长与直径的倍数关系的范围。
整体来看本单元的教学内容，这个题目给我启发：
正方形的边长与圆的直径是相等的，能否利用这两者之间的联系让学生去发现圆的周长与直径倍数关系的一个范围。我把上图做了调整，变成如下的图：
正方形的周长是四个边长，而圆的直径就等于正方形的边长，由此，去让学生猜想，能否肯定一个圆周长的范围。
经过讨论，可以看出圆的周长比正方形的周长小，正方形的周长是边长 (也是圆的直径)的4倍，所以，圆的周长一定比直径的4倍要小。
确定了范围一端还是不够啊，圆的周长会是直径的几倍以上呢？再次让学生展开讨论，这时，有学生很快想到，比直径的2倍肯定要大，理由：
把圆周分成上下两个部分，每个部分都比直径要大，所以圆的周长肯定比直径的2倍要多。到此，确定的圆的周长会在直径的2倍到4倍之间。
这个范围能不能再缩小一点呢？学生难住了。于是，我又出示下面图形：
让学生观察，圆的周长与正六边形的周长之间的大小，显然圆的周长比正六边形的周长大，而正六边形刚好是由6个正三角形组成的，所以，正六边形的周长其实是6个三角形的边长，也就是3个直径，由此得出，圆的周长比直径的3倍要多一些。
综合上面的内容，最后确定：圆的周长在直径的3倍于4倍之间。
3、通过测量，确定圆周长与直径的倍数关系。
究竟圆的周长是直径的几倍呢？这时，再展开下面的量、围、滚等方式测出圆的周长，然后算一算周长与直径的倍数关系，有量的误差比较大的，算出得数比4大或比3小的同学，很自觉地就去重新测量计算了，最后大家的得数基本趋于一致，这时再介绍圆周率与祖冲之，学生兴味盎然，意犹未尽，还沉浸在发现的喜悦中。
4、有价值的追问。
本以为水到渠成，没想到波澜再起，我们回归到书上圆周率的含义：
我在备课的时候也想到这个问题，果然这个问题被学生问出来：
“我们曾经学过，两个数相除，商只有两种情况，要么是有限，要么就会是无限循环小数，这里的圆周率既然是周长与直径的商，又怎么会是一个无限不循环小数呢？”
我首先表扬这个学生知识学得扎实，再说明圆周率是周长与直径的商，而不是简单的2个数的商，有关圆周率还有一些相关的知识我们课后去进一步研究。这样的问题能把前面学过的知识联系起来，发现其中的矛盾，然后去追寻矛盾的原因，从而解决矛盾，实在是一种高效的学习，我认为是有价值的追问！
《国家数学课程标准（实验稿）》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者、与合作者。”教师的有效组织把学生探究的欲望引发到出来，这样一个以学生为本，发掘学生的潜能，让学生体验成功的喜悦，才是我们教师和学生都想要的课堂，这样的课堂才是富有生命力的课堂!
