余颖数学“于教材空间处探寻教学的空间”

于教材空间处探寻教学的空间

——以“认识面积”一课为例

南京师范大学附属小学      余  颖

教材，是知识的物化载体，是开展教学的依据。教材，按照知识逻辑的体系以及数学活动的流程，确定着每节课的达成目标，引导着每节课的教学方式。但是，教材≠教学。我们在研读教材、理解教材、吃透教材的过程中，需要明晰的是，教材的空间在哪里？教材的空间有多大？我们需要细心体悟的是，在这个空间中，看得见的“明月”在何处？看不见但事实存在的“清风”有几许？以及那“云层”之上、“平地”之下，还有些什么？……只有对教材中的这些“可视空间”、“模糊空间”以及“潜藏空间”有了足够了解，才有可能让我们的教学空间足够丰满、足够多元。

现以“认识面积”一课为例，谈谈笔者从把握教材空间出发，所做的一点教学探索。

一、可视空间——瞄准目标，探寻如何去达成

“认识面积”一课，无论是哪一版本的教材，都将“面积”的意义作为呈现的主要内容。虽然，对于内涵的阐述及呈现方式上有所不同。如人教版通过对不同物体表面的大小以及图形面积的比较，明确揭示“物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。”而苏教版课标教材则回避了用文字给予一个明确的概念，采用具体化的方式——如“黑板表面的大小是黑板面的面积”来进行描述。方式不同，措辞有异，但所表达出的“面积”的内涵和外延是一致的。都是指物体表面或平面图形中的封闭图形（也有称“围起来的图形”）的大小。

细细品读教材提供的实例，我们可以厘清面积含义教学中的几个节点。一是“物体表面”所指内涵的丰富性。物体的表面，可以是一个面，也可以是围成这个物体的几个面；可以是平面，也可以是曲面。二是“封闭图形”所指内涵的确定性。首先，它是一个平面图形，而且，这个平面图形是封闭的，所以，像“角”这样不封闭的、没有确定大小的图形是排除在外的。

基于这样的认识，笔者设计了以下的教学环节：

一、激趣导入

由跟唱歌曲《我是一个粉刷匠》引入教学。

预设话题：小小粉刷匠在刷什么？他是怎样刷的？模仿刷墙面的过程。

揭示：这样就刷满了墙面。（板书：面）

二、探索新知

1．感知物体的面

摸一摸，黑板的板面、课桌的桌面、笔盒（笔袋）的表面。

2．比较大小，初步揭示含义

（1）比一比，课桌的桌面和黑板的板面的大小，你看出什么？

揭示：黑板的面比课桌的桌面大。在数学上，我们可以说：黑板面的面积比桌面的面积大。

（2）比一比数学书的封面和课桌面，谁的面积大？

（3）摸一摸笔盒（袋）的表面和橡皮的表面，你想说什么？

（4）在纸上描出橡皮的一个面，并涂满颜色。画出的这个图形的面积指的是什么？

（5）用自己喜欢的颜色涂满材料纸上“五角星”的面。

（6）画一个比五角星面积大一些的图形。

多途径、多角度展开对“面积”这一概念的探讨，不仅可以丰富学生的表象，更是将教材所要表达的概念的内涵进一步具体化。学生经由看、摸、比、画、想等多种活动，不仅可以加深对概念的理解，也是对概念外延不断拓展的过程，这便是对教材“可视空间”的最佳诠释。

二、模糊空间——品味留白，进行个性化解读

在“认识面积”这一课中，教材除了呈现不同的实例和活动逐步揭示“面积”的含义，在后续板块中，还都呈现了对不同图形进行面积大小的比较活动。如苏教版教材中呈现的以下例题：

我们需要思考：这样的比较面积大小活动所承载的教学意义是什么？

表面看，这一活动似乎可以帮助学生进一步理解面积的意义，进一步看，它为学生比较两个平面图形面积的大小提供了多样化的思路。然而，这就是例题所承载信息的全部么？显然还不够。要挖掘更多的“隐喻”需要我们多一些追问：

此例中的两个图形，既然能够通过重叠法比出面积的大小了，为何还要呈现用相同的小长方形去度量的方法？

相对于前面的比较活动，本例题有什么新的生长？看似多样化的背后，教材到底要透露出怎样更为重要的信息？

再进一步，教材中呈现用较小图形去度量时，为什么呈现的是相同大小的长方形，而非后续面积单位教学中需要采用的小正方形？此举又为何意？

……

教材中的这一例子所提供给我们的，犹如一片云遮雾绕的青山绿水，细细端详，无限韵味儿藏于云雾中。因此，不同的人自会瞧出不同的风景，呈现出不一样课堂。

基于对这一环节目标定位的追问，笔者作出了如下的思考和设计：

不同的比较活动，凸显的是面积的意义。因此，每一次比较，聚焦“比的是什么”“这样是不是在比面的大小”……，这是每一个比较活动的主旨。

在对不同材料的比较中，各种比较方法因材取舍的过程，也是体会各种方法局限性的过程，也是逐步感悟用相同的面积单位去度量的必要性的过程，因此，众多方法的呈现，仅仅是繁星点点，最亮的那一钩“明月”，应是普适的基本方法——度量。

同时，“明月”之中，亦有乾坤。同是度量，用小正方形度量与用小长方形度量或其它图形度量，有什么优势？为什么面积单位是以正方形为基本图形的？这些问题，教材中作了留白。教学中我们可以通过素材的提供，让学生有所感悟。

为此，在这一环节中，笔者在教材例题呈现的素材之后，补充了一组素材——6cm×6cm的正方形和4cm×10cm的长方形，作为催生不同比较方法的载体。

同时，在前测中，笔者也发现：当学生面对观察、重叠不能确定谁大谁小时，基本都会在重叠之后分割出多余的部分再比较，即便没有剪刀等工具，也会借助笔去画出分割的过程，锲而不舍的、坚定的走在“分割”之路上。而对于借助较小图形去度量的方法，基本上不可能自发产生。这就需要教师提供相应的材料，作出适当的引导。因此，笔者采用在学生尝试比较之后再提供“锦囊”的方式，引出度量的方法。“锦囊”之中有“三宝”：（1） 画满边长1cm的正方形方格的透明胶片；（2）2cm×2cm的正方形小卡片5个；（3）1.5cm×2.5cm的长方形8个。

据此预设的教学流程为：

1．  出示如例题中的两个面积相近、有视觉错觉的长方形纸片，比较它们的面积大小。

学生由不同的判断结论，自主寻找新的比较方法。

2．出示6cm×6cm的正方形和4cm×10cm的长方形纸片。

学生自主探索比较面积大小的方法。

适时提示：可借助“锦囊”里面的材料帮助自己比较。

交流各自的比法和结论。

比较：这么多的方法，各有各的妙处，哪种方法用起来最方便？或者说，随便什么样的图形，都能靠它比出大小的呢？

聚焦用小长方形和小正方形度量的方法，进一步思考：摆哪种小图形更实用？

经教学实践检验，在这一比较活动中，因材料的精备和问题的预设，学生在多样化的比较中，进一步明晰了面积的意义并逐渐感悟到了普适的比较面积大小的方法。这一教学环节不断推敲、修改的过程，亦是笔者自悟如何解读教材“模糊空间”的过程。我们应努力把教材的共性化处理纳入到教者个性化的解读之中，并在此基础上有所调整、有所优化、有所扩充，使教材“模糊的空间”明晰化、显现化、具体化。

三、潜藏空间——把握沟连，观照矛盾冲突处

翻阅教材中的某一篇章，呈载的教学内容，一般都能让人一目了然的看到“可视空间”，并感受到“模糊空间”的若隐若现。但是，这一内容的“前因”“后果”，以及与之错根盘结处，却往往是隐在青山中、藏在大地下。

就如认识“面积”时，早先认识的“周长”，作为一个“先入”的概念，对于学生认识面积就有了负面的牵引。同时，在一个平面图形中，“边”是强刺激源，而“面”则是弱刺激源，因此，认识面积虽是起始概念，但并非真正的“白手起家”。聚焦“面”认识面积也好，比较大小凸显面积也罢，都需要把握——面积与边线长度并非正相关，都需要明确这样一个事实——面积并非周长。

基于这一思考，教学设计中，笔者关注了两个细节的处理：

1、在第一板块，“画一个面积比☆大的图形送个它做朋友”时，对于学生们画的图形，辨别了其面积是不是比☆大之后，笔者增加了一个环节：

师：我也想画一个图形送给☆做朋友，想不想看一看？

然后，在☆之旁画至一半停下（如下图）：

问：你觉得老师画完了吗？为什么？

【此问意在让学生关注到必须是封闭的（或围起来的）图形才行。】

预设埋伏：看出来了？老师也想画一个面积比五角星？真是这样的吗？

演示画完（如下图）：

让学生在上当一笑中，加深对面积的认识，产生分清“面”与“线”的意识。

2、在比较图形大小的教学环节中，让学生充分阐述比较的方法和想法，寻找拿比周长当比面积的例子，暴露其认知上的误区。比如拿尺量算出周长当面积，甚至于数小方格时拿周长算法当面积的误区，在学生中间出现的几率是比较高的。对于这样的思考，不要轻易让其淹没。如能在交流比较方法时展现出来，对于全体学生加深对“面积”含义的理解是有帮助的。当然，在呈现这样的错误的同时，引导学生建立正确的“错误观”，让思考中的错误拥有一个安全的空间，是教师需要关注的。

综上所述，所谓教材的空间其实便是指教材能够明晰表达的空间、教材不得不模糊处理的空间和教材未能展示的潜藏空间的总和。对于教材能够展示的空间，需要我们潜心去“读”，对于教材不能清晰表达的空间，需要我们用心去“悟”。当我们把“读”出来的和“悟”出来的空间，艺术地整合到我们的课堂中，数学课堂才会光彩照人、充满活力。