489532
post:489532
杨婧数学《数形结合思想在小学数学中高年级的渗透》
- 发布时间：2011-08-31 11:09
- 作者：杨婧
- 点击量:
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在总体目标中明确提出“要使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”，同时也对数学教学提出了如下要求“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的活动经验。”显然，数学基础知识与数学思想方法是数学教学的两条主线。
在小学数学中渗透着许多的数学思想方法，本文重点研究的是其中的数形结合思想，因为数学就是研究现实世界的数量关系和空间形式的一门科学，而数形结合思想是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
数形结合思想方法的渗透是一个潜移默化的过程，需要教师在学生学习的各个过程中搭好“脚手架”。首先教师要选好有结构的学习材料，贯通学习材料与数学思想的联系，能够让学生在学习材料的“深加工”中，逐步提炼数形结合思想方法。其次要精心设计渗透方法。渗透方法要从学生的实际出发，不能生搬硬套。教师要从学生已有的知识水平和发展特点，从学生的兴趣出发，巧妙地从学生熟悉的具体实物图形过渡到线段图或者其它几何图形，从而使抽象过程顺其自然，水到渠成，总之，方法的设计要符合学生的年龄特点、认知规律，过程要简洁明了。再次要适时地引领、提升。在渗透数形结合思想方法教学的过程中，需要教师发挥引领的作用。通过教师启发、点拨和小结，提高学生对知识的理解，凸现数形结合思想方法的脉络，让学生领悟数形结合思想方法的精髓。
以下将结合自己一年的工作体验和收获，结合具体实例谈谈小学中高年级中渗透的数形结合思想。
一、数形结合思想在小学中高年级数学教学中的实施策略
（一）研究教材，把握数形结合思想方法渗透的固着点
准确把握教材数形结合思想方法渗透的固着点是进行数形结合思想方法教学的基础。然而数形结合思想方法的渗透是蕴含在一个个知识点当中的，它伴随着知识的发生、发展而逐步显现。相对于显性的知识，它是隐性的，易被教师们所忽视。因此，一名教师首先要加强数学本体性知识的学习，提高自身的数学素养和敏锐性；同时要精心研读教材，理清教材数形结合思想方法渗透的主线索，找准每一课时的基础知识中数形结合思想方法渗透的固着点，才能为有效落实数形结合思想方法奠定基础。
（二）精心设计，落实渗透数形结合思想方法的着力点
数形结合思想方法的渗透是一个潜移默化的过程，需要教师在学生学习的各个过程中搭好“脚手架”。首先教师要选好有结构的学习材料，贯通学习材料与数学思想的联系，能够让学生在学习材料的“深加工”中，逐步提炼数形结合思想方法。其次要精心设计渗透方法。渗透方法要从学生的实际出发，不能生搬硬套。教师要从学生已有的知识水平和发展特点，从学生的兴趣出发，巧妙地从学生熟悉的具体实物图形过渡到线段图或者其它几何图形，从而使抽象过程顺其自然，水到渠成，总之，方法的设计要符合学生的年龄特点、认知规律，过程要简洁明了。再次要适时地引领、提升。在渗透数形结合思想方法教学的过程中，需要教师发挥引领的作用。通过教师启发、点拨和小结，提高学生对知识的理解，凸现数形结合思想方法的脉络，让学生领悟数形结合思想方法的精髓。
下面我就以四个固着点举例具体说明渗透数形结合思想在小学数学课堂教学中折射出的璀璨光芒。
1、在“数形结合”中发展数感
数字对于小学生而言是极其抽象的，如果没有具体形象的感性材料做支撑，数字（1、2、3……）对小学生而言只是一个符号而已，没有什么实际意义，因此在教学生认数时，教师要呈现大量的具体实物，如教学数字3，教师就要对应呈现3个苹果，3张卡片，3根小棒等等物体。那么这一个个的数字之间又有什么样的关系呢？在教学中又需要教师借助下面的数尺
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
来理解。但是我们生活中有很多数字都不是精确记录得来的，而是粗略地估计出来的，这便于人们的记忆与使用。那么我们该如何求一个数的近似数呢？又该怎样根据这个数的近似数是多少来确定这个数的范围，这个数最大可以是多少，最小可以是多少？下面我将结合四年级上册的认数这一单元《求一个数的近似数》这一课来进行说明。
我曾经听过一节课，内容是苏教版小学数学四年级上册P96的《求一个数的近似数》，执教老师是这样上的：
师：四（1）班有40人，四（2）班大约有40人，两个班人数相同吗？
生：不相同，因为题目中说四（1）班有40人，就是正好有40人；四（2）班大约有40人，说明人数在40左右。
师：这就是说第一个40表示的是精确的数，而第二个40表示的是近似的数。看来同学们已经对近似数有了一些认识，那么今天我们就进一步来学习它。（板书课题：求一个数的近似数）
师：同学们，我们刚刚已经知道了四（2）班的人数在40左右，那么四（2）班的人数究竟是大于40还是小于40呢？
生1：小于40。
生2：（立刻反对）可能大于40也可能小于40。
师：你考虑问题真细心！那么四（2）班到底有多少人？你能猜一猜吗？
生面露难色。
师引导：如果四（3）班有38人，那么四（3）班大约有多少人呢？
生3：大约40人。
师：你怎么知道的？
生3：因为38接近40，，所以四（3）班大约有40人。（由于学生有之前学过估算的基础，所以回答问题很轻松。）
师追问：那还有四（3）班还有可能有多少人呀？
学生多数能说出一两个，但能说全的人甚少。
30 40 50
提问：你能指出38大概的位置吗？
生上来指出位置。
师：38距离30远一些，接近40，我们就说38的近似数是40，板书：38≈40
追问：你还能找出其它接近40的数吗？
生4：36，37，38，39都距离30远一些，离40近一些，所以它们的近似数也是40。
生5：41，42，43，44距离40近一些，离50远一些，所以它们的近似数也是40。
师反问：那35呢？它的近似数是多少呢？由于35到30、40的距离是相等的，又因它在30和40的中间，所以我们就规定35的近似数是40。（相机板书）
师：观察写下的式子，你发现了什么？
生6：我发现末尾是1、2、3、4的就舍去，末尾是5、6、7、8、9的就向前进一。
生7：我知道这是四舍五入法。
师：你们说得都没错，这就是我们常用的求一个数的近似数的方法——四舍五入。
引导：请同学们再仔细看看数轴图，现在你们能回答出四（2）班到底有多少人吗？
生8：因为四（2）班大约有40人，所以四（2）班可能有35人，36人，37人，38人，39人，也可能是41人，42人，43人，44人。
生9：四（2）班的人数比34大，比45小
师：噢，你真聪明，你发现了四（2）的人数所在范围，四（2）最多有44人，最少有35人，那么你这句话有没有什么毛病呢？其他小朋友发现了吗？
生10：他这句话不对，应该不包括40，如果四（2）班有40人的话，就是精确数了。
师：你的目光真敏锐！同学们再来看这道题。（师用多媒体出示书上P96例2的情境图）
|
总计（人） |
男性（人） |
女性（人） |
|
970889 |
484204 |
486685 |
提问：男性和女性的人数各接近四十几万？你能写出它们的近似数吗？并用你的方法说明。（学生小组交流，有的在画、找）
汇报思考的过程。
生11：我们是看484204、486685中都有48万，然后看后面4204没有接近1万，484204的近似数就是48万。6685接近1万，所以486685的近似数就是48万加1万，是49万。
（大部分学生点头，少部分学生有些茫然）
470000 480000 490000 484204 486685
（看了这幅数轴图，几乎所有学生都呈现顿悟状）
师：你还能说出哪些接近48万的数？可以随便写吗？
生13：不可以，要比485000小，比475000大，是475000也可以，但不能是480000。
生14：千位上的数不可以随便写，但百位、十位、个位上的数可以随便写。
师：为什么呢？
生：因为我们要看484204接近四十几万，百位、十位、个位上的数再大也决定不了这个数会大于485000。所以只要看万位右边的千位，四舍五入就行了。
……
听课反思：
在这节课中，教师首先是让学生自由说说哪些数的近似数是40，也就是注重了从数的方面先引导学生进行思考，当发现多数学生有困难时，教师才及时利用了生动直观的数轴来帮助学生建构近似数的概念。在数轴上学生清楚地理解了四舍五入的道理，也把握住了近似数与精确数的联系，这时候再引导学生仔细观察数轴图，在结合教师板书的式子，学生能够发现常用的求近似数的方法——四舍五入法，这为例2求大数的近似数打下了坚实的基础，学生可以脱离数轴图直接回答出这些大数的近似数是多少。可见本节课的教学遵循了数形结合思想的教学原则，采取了恰当的实施策略，所以本节课的教学效果很好。数轴的呈现拓宽了学生的思维，也加深了学生对近似数的理解，更为学生求大数的近似数提供了一个跳板，学生能主动探索求法，并在探索的过程中丰富了对近似数的认识。这样的教学使学生既能在“形”中见“数”，又能在“数”中见“形”，做到“数形结合”，从而把握知识的本质，进一步发展数感。
2、在“数形结合”中理解算理
小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合就是帮助学生理解算理的一种很好的方式。
例如，求：
很多教师曾经这样处理：
教师讲解并在黑板上板书：
但有很多学生仍不理解。于是教师就引导学生拿出事先准备好的长方形纸片来探究计算方法。
师：将这张长方形纸片折一折、涂一涂，并在这张纸上分别表示出它的
展示学生的作品（如图）
涂了2次
图1 图2
谈话：根据你的操作，说一说
提问：你是怎样看出得数是
这里通过折长方形纸片，学生明白了要计算出这个分数加法的结果，就必须先将各个分数的单位转化成相同的分数单位才能进行计算，即通分。接着教师又借助几何画板软件将上述“理性”的抽象思维过程形象化、视觉化，即教师充分利用分数的直观图，将数与形结合起来，引导学生体会“只有平均分得的份数相同，也就是分数单位相同，分子才能相加”的道理，直观地理解通分的必要性及异分母分数加法的算理。
异分母分数的减法，同样也可以用数与形结合的方法来阐明算理。由于计算过程中的算理是极其抽象的，所以学生在上计算问题的课上容易开小差，注意力不能集中，而且很多教师在上这样的课时也觉得很枯燥，课上得很吃力。倘若我们教师能够有意识，并能够自觉地在这样的课堂中利用数形结合的思想方法，就能够帮助学生建立清晰的表象，学生对于计算的过程记忆深刻，对计算的算理理解透彻，做到既知其然又知其所以然。事实上这也是形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程，其教学效果显而易见。
3、在“数形结合”中拓展空间观念
三角形这一概念对学生而言是十分抽象的，学生从字面上只能知道它可能有3个角，至于三角形的其他特征与性质，如果没有直观图形的辅助，学生是很难把握的，尤其是对三角形边的特征的探索这一课时而言，即使在新授部分教学时，教师通过运用直观的教具，可以使学生在头脑中形成初步的表象，但是理解的却不深刻。如果教师能在学生初步建构了三角形的概念之后，精心设计一些反面的变式联系，这样就能使学生在层层递进的认知冲突中深化对三角形的认识，头脑中能呈现清晰的表象，从而促进空间观念的发展。下面我选取苏教版四年级下册P22的《认识三角形》为例来进行剖析。
教学片段
首先，教师用课件出示图1的这些图形。引导学生思考：将所有这些图形分成几类，你会怎么分?为什么?学生能够容易地得到：可以将三角形单独分为一类，因为它们都是有三条线段的图形。
其次，针对“三条线段”的图形，教师出示反例(如图2)：这两个图形也是由三条线段组成的，它们是三角形吗?为什么?学生意识到，三角形不仅仅是由三条线段组成，而且是由三条线段互相连在一起的。
再次，针对“三条线段都连在一起”，教师进一步出示反例(如图3)：像这样，由三条线段连在一起的图形是三角形吗?很显然，这时的三条线段没有首尾相连，因而组成的图形不是三角形。
最后，为了强调“首尾相连”，教师继续出示反例(如图4)：像这样，你认为它们是不是符合首尾相连的要求，是三角形吗?这时，学生会认识到，三条线段没有全部首尾相连，还有一个缺口，没有封闭。
教师在学生已经认识了三角形这个图形后，通过提供大量的反例图形，激起学生的认知冲突，促使学生在层层递进的矛盾解决中建立起数学概念，形成了对数学概念全面、深刻的理解。而这一切的设计都有赖于数形结合的渗透，没有精确的数学描述（三角形是由三条线段围成的），没有那么多直观的几何图形，学生就没办法深入研究三角形，学生对三角形的空间感知也就没那么清晰。因此在平时的教学中，我们应多提供形象直观的物体，多展示几何图形的形状、大小、位置关系及其变换，通过数形结合，丰富学生对现实空间及图形的认识，从而发展学生的空间想象能力。
4、在“数形结合”中解决问题
小学数学中有些题目数量关系错综复杂，学生读了题之后脑中一片茫然，感觉无从下手，这时候如果能够设法把题目中的条件、问题以及它们的数量关系反映在各种图或表格中，借助直观的图进行分析、推理，思路就豁然开朗了。在小学数学教学中，主要有线段图、示意图、数形图、几何图、韦恩图和表格这几类方法充分体现了数形结合思想方法。下面的这个案例就是借助示意图，来反映问题所涉及到的数量关系的。
教学内容：苏教版小学数学四年级下册P89的《用画图的策略解决有关面积计算的问题》
教学过程：
一、问题导入，激发需求
1、出示例题的文字部分，让学生自主阅读。
2、引导交流：这个题目讲的是一件什么事？为我们提供了哪些条件？又要我们求什么问题？
3、设疑：你觉得像刚才这样介绍这道题目后，别人能将题目的条件和问题弄得很清楚吗？这个题目的条件和问题在你的头脑中是不是也很清楚了？你有没有更好的办法将这个题目的条件和问题整理清楚？
4、思考后的交流中，引导学生明确：这是一个有关图形面积计算的问题，如果画个示意图就可以将题意表达得更清楚。
二、自主尝试，体验策略
1、让学生尝试着根据题目的条件和问题画出示意图，并强调：画出的图要能让人更清楚地看出题目的条件和问题。
2、组织交流：让学生展示自己所画的示意图，说说是怎么画出来的，并要求结合示意图说明题目中的条件和问题。
3、引导学会比较展示出来的示意图：观察这些示意图，你觉得哪些图画得好？哪些图需要改进？
在交流中，重点引导学生关注：（1）题目中的条件和问题是否都作了准确的标注；（2）所画的图是否美观清晰，有关长方形的长、宽是否大致符合比例。
4、要求学生根据刚才的讨论修正自己所画的草图。
三、探索思路，解决问题
1、提出要求：谁能结合示意图再来说说这道题的已知条件和所求问题？
2、启发：从图上看，要求原来花圃的面积，先要求出什么？根据哪些条件可以求出原来花圃的宽？交流过程中重点引导学生理解增加的18平方米正好是原长方形的宽与3米相乘的积。
3、学生尝试列式计算解决问题。
4、交流反馈解题的情况。
四、回顾反思，提升策略
1、提问：在刚才解决问题的过程中，经过了哪些步骤？你觉得哪些步骤很重要？
2、追问：画示意图表示题目的条件和问题时，你认为要注意些什么？
五、教学“试一试”（略）
观课体会：
我国数学家张广厚说过：“数学无疑是一门高度抽象的学科，需要人们具有高度的抽象思维能力，但是也同样需要很强的几何直观能力。抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的，同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”从这样的角度看，小学生在解决问题的过程中，学会数形结合，用画图的策略整理条件和问题，进而分析数量关系，解决问题，可以很好地培养他们的思维能力，帮助他们形成“在抽象中看出直观”的意识和能力。运用数形结合的方法解决问题，形象具体，构思新颖，解题简洁。然而纵观学生的解答，我发现学生在运用数形结合的方法解决问题时还存在着许多问题。例如：图形不科学，不严谨，书写不规范等，都给学生解题带来了不该出现的失误，因此我们在平时解决问题的教学中，要着重引导学生学会画图，掌握画图的各种技巧。这样才能使“数”与“形”有机结合，才能科学规范，结构严谨，给出具有代表性的最优解法，才能有效地培养学生的抽象思维和形象思维能力。
在小学数学教学中渗透数形结合思想可以有效防止学生进行“机械学习”， 很好地促进学生对数学知识的意义建构；能有效防止学生学习数学时“一知半解”，使学生对数学知识的理解“入木三分”；能有效防止学生“生搬硬套”或“一棵树上吊死”，变“山穷水尽疑无路”为“柳暗花明又一村”；在解决错综复杂的数学问题时，采用数形结合，能够很好地帮助学生理清“含糊不清”的数量关系，明确解题思路，最终“水落石出”。因此在实际的教学中我们应该努力钻研教材，把握数形结合思想方法渗透的固着点；精心设计，落实渗透数形结合思想方法的着力点；螺旋上升，注意数形结合思想方法渗透的渐进性，努力提升数形结合思想方法的教学能力，从而为学生寻得一支合适的“长篙“，引领学生的思维向更深处漫溯，并让他们在数学的世界里快乐地放歌。
上一篇：王爱荣 论文