余颖“求清、达融、得慧”

求清、达融、得慧

——“多边形面积计算的复习”教学设计与思考

南京师范大学附属小学    余  颖

教学设计

教学内容：苏教版五年级上册“多边形面积的计算”第22页的“整理与练习”。

教学目标：

1、让学生在操作、观察、比较中，加深对各种多边形面积计算的理解，建立关联，形成正确的认知结构。

2、让学生在自主复习整理、交流梳理概括中，进一步积累复习的经验，掌握复习的方法。

3、让学生在观察、发现中，进一步提升思考能力。

教学过程：

课前谈话：择机交流，凸显“我想”、“没想到”

一、回顾整理

出示课前整理问题：回想一下，我们学习了哪些平面图形的面积计算？联系各图形面积公式的推导过程，用你认为合适的方式整理出来。

布置小组交流：我们在小组里互相说一说，都整理了些什么？是怎么整理的？也听一听，同学的想法中，有没有你没想到的？

小组交流。

集体交流。突出以下几个关键点：

1、各多边形面积计算的公式

2、各多边形面积公式的推导过程

3、学生自主整理中出现的不同的整理方式（表格、网络图等）

4、集体归结到用网络图的形式简明的表达各图形面积计算推导中的联系。

5、评价聚焦于学生自主整理的内容，聚焦于自主复习的内容和方法。

板书：1、各面积公式；2、网络图

二、观察深化

1、基础练习

出示练习纸上的四个图形。

问题：观察这四个图形，你有什么想法？

学生自由阐述后，齐计算四个图形的面积。

集体核对：每个图形的面积是多少。

反馈问题：怎么会面积相等的呢？这三角形、梯形的面积不都是要除以2的吗？

学生释疑。

2、操作比较

操作一：如果要画一个三角形，它的面积是平行四边形的一半，你行吗？用最快的速度在方格纸上画出一个这样的三角形。30秒行动，开始！

学生操作。

集体反馈，展示形不同但都是底4cm、高6cm的三角形。

操作二：在你画的这个三角形上，再画一个和它同底等高但形状却不同的三角形，行吗？

展示学生画的图。并用不同角度的阴影描画、观察：这两个三角形形状不同，但面积相等。再仔细看看这里的三角形，是不是又能发现什么呢？

得出：如下图A、B这样的“蝴蝶翅膀”面积相等。

追问：这个，原先想到了吗？

3、拓展练习

出示：

问题一：要求这个阴影部分的面积，你希望老师提供你哪些数据？

学生回答后，出示两个数据。

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问题二：提供这两个数据。能解决问题吗？

学生独立思考，同座交流，集体反馈。

4、深化思考

回顾前面的作图要求：画出一个面积是平行四边形面积一半的三角形。

问题一：面积是平行四边形的一半，只能是这些底4cm高6cm的三角形吗？一分钟头脑风暴，只能是底4高6的三角形吗？只有这些吗？

学生思考、操作、交流。

集体交流，指名学生快速口答并板书数据。

问题二：多想一想，就出现了这么多的情况。这既不等底又不等高的，怎么面积就等了呢？

问题三：这倒让我想起一件有趣的事儿，三年级认识面积时，我们班就有个孩子对这个词儿很有意见，他说：“面的大小就大小得了呗，说这个图形的面大那个图形的面小，不是很清楚嘛？干嘛要说是它的面积大啊？真拗口！真费劲！”当时啊，老师还真是没法儿说服他，只能说：“等以后，你就知道了。”现在，你觉得你能帮我说服这个孩子吗？面的大小，干嘛起名儿叫面积啊？

学生自由阐述，通过观察公式，概括得出面积计算事关两个数的乘积。

评价：这个解释，大家觉得，能接受吗？

三、变形融通

1、图形变形，启发想象

问题一：回到刚才观察的四个图形，我们已经计算验证过，它们的面积都相等。仔细观察，这个三角形和梯形，它们面积相等，是因为什么？

动画演示：梯形上底缩短一格，同时下底延长一格。

问题二：仔细观察，现在的这个梯形和原来的梯形相比，有什么联系？

动画演示：继续变化梯形，上底再缩短一格，同时下底再延长一格。

问题三：想象一下，照这样继续下去会怎样？

根据学生回答，动画演示：梯形上底缩为一点，下底延长，成为一个三角形。

问题四：你怎么知道这个三角形和原来的梯形面积相等呢？

引导学生解释。关注两种角度：（1）借助长度数据来说明的；（2）根据面的割补情况来说明的。

2、拓展关联，寻求融通

问题一：这样看来，梯形面积的计算，并不见得一定是转化成平行四边形来推导的。它也可以转化成三角形，根据三角形的面积计算方法来推导。这倒提示我们，是不是还有其它的推导方法啊？

择机介绍刘徽并动画演示《九章算术》中的推导过程。（最终成图如下）

问题二：用这样的方法，又可以把三角形和梯形转化成了什么图形？

黑板上的网络图作相应的丰富。

问题三：看出来没有，不论是刚才的梯形转化成三角形，还是三角形、梯形转化成长方形，它们之间有什么相同之处？

小结：这种割一块、补一块的方法，也就是2000年前我国数学家刘徽所说的 “以盈补虚” “出入相补”（出示）

回顾梳理：这么多的方法，我们快来理一理。我们研究过，把平行四边形割补成长方形、把两个相等的三角形、两个相等的梯形拼成一个平行四边形，来推导出它们的面积；我们也知道了，梯形可以割补成一个三角形，也能推导出它的面积；我们还知道这些图形也都能够割补成长方形，这样也都能够推导出它们的面积。

问题四：推导过程不同，但思路却是一致的，都是怎么处理这些图形的？（板书：转化）

问题五：那么，大家有没有想过，为什么这些图形可以切切补补拼拼的，变成已经知道面积计算方法的图形来推导出它们的面积计算公式呢？

四、总结提升

问题一：今天这节课，我们整理了已经学过的各种图形的面积计算方法以及它们的推导过程，在刚刚过去的这三十几分钟里，有你以前没想到的吗？

学生交流。

小结：这些没想到的，有的，是我们多想一想，就有了新的发现；有的，是我们互相说一说，就有了新的认识。这一个个“没想到”，就是我们的收获，就是我们的成长。那么，梳理完了这部分的内容，是不是还有什么，是我们没想到的呢？我想，一定有，只要我们仔细想一想，就能发现。比如，为什么任意一个三角形或梯形，都可以割割补补变成长方形呢？或者说，怎么剪拼才能变成长方形呢？这其中的道理和奥秘，我们想到了吗？（没有）没关系，随着以后的学习，我们会把这一个个没想到，变成我想到的。（点击出现：我想到）

 

教学思考

这是一节五年级“多边形面积计算”的复习课。设计这节课的过程，也是笔者不断追问并试图厘清“复习课的教学目标如何定位？怎样达成？”的过程。

1、复习课的基础目标——“理”中求清

既是复习，其基本目标必然是对一个阶段已学的内容进行梳理，让学生将头脑中点状的知识结构化，零散的知识系统化，同时，抓住学生关键性的认知漏洞或误区，让其暴露，进行弥补，让学生学得更全面、更完整。

可见，复习梳理，理的是知识，清的是认识。既然如此，教师需要思考以下两个问题：

——已学过的知识，是每一个学生都真正认识了的吗？

显然，当我们立足于每一个学生，我们都会清晰的看到，个体之间的差异是客观存在的。同样的内容，同样的老师，在不同的学生那儿，并不是同样的理解和把握。所以，复习和梳理，首先应该是学生自我整理的过程。一旦这样的个体行为，变成一种集体式的步伐共进时，就很容易将梳理的过程变成了“炒冷饭”的局面，变成一个学生兴致索然、效果了了的过程。

如此看来，苏教版五下教材中提出的要求——回想一下，我们学习了哪些平面图形的面积计算？联系各图形面积公式的推导过程，用你认为合适的方式整理出来。比较恰当的教学方式应是，在此要求下课前自主梳理，根据各自梳理的内容和方式，再进行交流和引导。

我们可以预想的是，学生自主梳理中可能出现三种不同的层次：最低层次，仅仅理出了各种平面图形面积计算的方法或公式；一般层次，不仅理了面积计算的方法还理了各图形面积公式的推导过程；最高层次，能根据各图形面积计算公式的推导过程用个性化的方式恰当地表达出它们之间的联系。应该说，这三种层次反映出前期学习中不同学生过程性目标的达成度，折射出不同学生对这部分内容的掌握是机械性学习的结果还是理解性学习的成分居多。

照这样的分析，课堂上对各自梳理内容的交流和引导，按“理结论——理过程——理联系”的脉络予以展开，其意义，就是在“理”中让不同层次的学生都获得对各图形面积计算的清晰认识。对于第三层次的学生来说，梳理后的交流，是在比照中丰富将知识结构化的经验；对于第二层次的学生来说，他们收获的，还有更强烈的将知识结构化的意识；而对于第一层次的学生而言，交流的过程，还有帮助他们理解结论产生过程的功效。

——在“知道的”当中，有普遍性的疏漏或误区吗？

回顾学生对各多边形面积计算的学习过程，有哪些印迹是我们浓彩重墨予以渲染的吗？一般来说，按教材示意的推导过程，在学习平行四边形面积计算时，将其割补转化成长方形的比较——长乃底、宽乃高；在学习三角形（梯形）面积计算时，将两个全等的三角形（梯形）拼成平行四边形时的比较——等底（底之和）、等高、面积是一半。这些聚焦影响面积的两个长度变量，通过沟通不同图形长度变量间的联系来获得各图形面积计算方法的方式，让学生容易对“等底等高”和“面积相等”（或“面积是一半”）中的内涵和外延，存在一定程度的混淆与模糊理解。一般来说，对于“等底等高”与“面积相等”（或“面积是一半”）之间的密切联系、“等底等高≠完全相等”等关键点，学生会在前期的学习和变式练习产生比较强烈的印象。但同时，也容易将决定“面积相等”的范畴就此窄化为了“等底等高”。

因着这样的学情分析，基本练习后的变式，从三角形的变形予以展开。“如果要画一个三角形，它的面积是平行四边形的一半，你行吗？用最快的速度在方格纸上画出一个这样的三角形。”果然，速度要求之下，学生呈现的第一想法都是画出了一个和平行四边形等底等高的三角形，稍有不同的，只是形的差异。如此看来，抓住“面积是一半”和“等底等高”之间的不同，让学生在画中关注“形”，在“形”中聚焦“数”，是有助于学生厘清面积与影响其变化的长度变量之间的关系的。

2、复习课的核心宗旨——“通”中达融

复习课除了梳理、补漏、纠错，更重要的意义是什么？布鲁纳“每一门学科都有其自身的结构”“教知识不如教结构”的观点，可以给我们以启发。

既是对一个阶段所学内容的整理和复习，显然，将所学知识彼此间建立关联，形成结构，是必须的。这就犹如学气功之人，在学会所有的招式和要点后，完整的练一练、运一运，借外显之招积聚内部之气，从而产生内力、打通脉门，练就全身筋骨。这才是复习课的要旨所在。

这样看来，本单元的学习内容，有必要打通哪些“脉门”间的联系呢？

——聚焦本单元学习过程，需要“通”什么？

如前所述，梳理各多边形面积计算的方法和推导过程，形成网络图。这是对一单元学习内容的疏通与架构，是帮助学生形成认知结构的必做之事。这是“通”的首要环节。

——回望已有的认知基础，可以“通”什么？

除此之外，回望已学的内容，面积的计算是由面积的意义这一“根基”上生长出来的。三年级认识面积时，学生对于面积的定义“物体表面或围成的平面图形的大小”有了准确的把握。但是，受年龄特征及认知结构所限，关于面积的的内涵及其特征，有些是作为经验积淀下来了，有些则不得不作了含糊的处理。比如，既是“面的大小”，为什么叫“面积”呢？这是当时无法解释的。又比如，割割补补，不管变成什么新的图形，它的面积不会改变。这是从幼儿园起就作为操作中的经验逐步积累下来，关于面积的一个重要特性——面积的可加性。这一特性，在前面具体内容的学习中（如平行四边形面积计算的推导），往往是就事论事式的通过某个例子的观察比较，作为一种公认的现象，让学生知道其变形前后大小未变即可了。

因着这样的思考，才有了本节课在“画一个是平行四边形面积的一半的三角形”的要求之下，在厘清“面积是一半”的可取范畴之后，对学生呈现出的各种“底不同高不同但面积相同”的数据的追问——“这既不等底又不等高的，怎么面积就等了呢？”、“这倒让我想起一件有趣的事儿，三年级认识面积时，我们班就有个孩子对这个词儿很有意见，他说：‘面的大小就大小得了呗，说这个图形的面大那个图形的面小，不是很清楚嘛？干嘛要说是它的面积大啊？真拗口！真费劲！’当时啊，老师还真是没法儿说服他，只能说：‘等以后，你就知道了。’现在，你觉得你能帮我说服这个孩子吗？面的大小，干嘛起名儿叫面积啊？”这样的追问与设计，一方面，凸显了“形”与“算”之间的联系，另一方面，也于彰显“面积计算事关两个长度变量的乘积”中，让学生由计算回望面积这个名称，深化了对“面积”的理解。同时，呈现各种割补法之后的追问——“大家有没有想过，为什么这些图形可以切切补补拼拼，变成别的图形来推导它的面积计算方法呢？”亦是让学生对“平面图形切割拼补后不改变面积的大小”这样的经验作出一个综合性的阐述。

——放眼后续学习的生长，还可“通”什么？

放眼整个关于平面图形面积计算的研究，面积计算公式的推导方法和路径其实是多元的。基于学生已有的知识基础，小学阶段的教材，都采用了借助两个全等的三角形或梯形来推导它们的面积计算公式。但其实，割补法的普适性和生命力更强。这一点，一千七百多年前刘徽在《九章算术》中所呈现的各种用割补法进行面积推导的路径亦可作为佐证。也正因为此，不同版本的教材都在“你知道吗？”等栏目中或多或少的予以了提示和拓展。

对于这样的“节点”，教师自然都不会放过。

那么，怎么处理？

作为一个知识点呈现，是一种方式；作为另一种不同的转化方法予以演示，也是一种方式；在复习课中，作为一个内通外联、留有韵味儿和回味的载体，也可作为一种方式。

本节课中，笔者尝试从方格图上梯形的变形入手，通过直观图形的比较和抽象公式的沟连，打通梯形和三角形之间的联系，在此基础上，介绍《九章算术》中几种主要的割补推导的方法，引发学生对其它转化方式的遐想和思考。并为今后研究这些转化方式的合理性留下伏笔——“为什么任意一个三角形或梯形，都可以割割补补变成长方形呢？或者说，怎么剪拼才能变成长方形呢？”

以上几“通”——“内通”认识成框架、“前通”结构找皈依、“后通”节点促生长，笔者以为，应是复习课需把握的关键。在这三个方向的“通”之中，我们才有可能帮助学生到达“融”的境界，让学生在知识的学习中丰富认识并拥有生长的气息。

3、复习课的本质意义——“思”中得慧

“知识是他人经验的累积。智慧是自己经验的累积。”（奥修语）那么，如何让学生在数学学习中生长智慧？

数学的本质是思维。显然，让学生在思考中获得思考的经验，从而发展其思维、启迪其智慧，是数学教学的重要价值所在。故此，于每一个数学教师而言，思学生之思，是实施教学的重心。

笔者以为，“思”首先是一种思考的状态。脑研究表明，人在需要、动机、兴趣、情感、意志等心理因素的积极作用下，注意力高度集中，大脑皮层高度兴奋，思维高度活跃且持续时，会产生一种思维流。在思维流发生的这段时间里，人表现为精神振奋、心情愉悦、充满爱心、感受性强、自觉性高、记忆清晰、反应敏捷、联想丰富，时间在不知不觉中过去，学习和研究的效率达到平时的最高水平。

显然，思维流的产生是我们梦寐以求的。那么，如何帮助学生进入于思维流中徜徉的状态呢？除了外在的知识、内在的动机，发现问题、分析问题、解决问题时的一些基本方法，都是我们需要考虑的前提条件。正因为此，基于学生的知识基础提出难易适度的问题、给予学生一定的方法指导、让学生在思考过程中不断获得的成功体验……是促使学生感受思之魅力的关键。

基于这样的思考，贯穿本节课始终的“我想……”、“没想到……”，试图让学生在把“想”当做一种现象来予以关注中，体会思考的状态；课中抛出的问题串——“如果要画一个三角形，它的面积是平行四边形的一半，你行吗？”、“在你画的这个三角形上，再画一个和它同底等高但形状却不同的三角形，行吗？”、“再仔细看看这里的三角形（等底等高的），是不是又能发现什么呢？”、“面积是平行四边形的一半，只能是这些底4cm高6cm的三角形吗？只有这些吗？还可以是别的三角形吗？”、“这既不等底又不等高的，怎么面积就等了呢？”……，试图让学生在“跳一跳”中享受思考逐步清晰与深入的愉悦；紧随引导发现之后的追问——“这‘蝴蝶翅膀’怎么就面积相等了呢？”、“你说这三角形和梯形的面积相等，是因为什么？”、“看出来没有，不论是刚才的梯形转化成三角形，还是三角形、梯形转化成长方形，它们之间有什么相同之处？”……，试图引导学生积淀寻因问果、推理证明、归纳概括的意识和方法；还有那穿插其中的“多看一眼，就有了新的发现。”、“多想一想，就出现了这么多的情况。”、“互相说一说，就有了新的认识。”等评价点拨的话语，亦是试图引导学生感悟获得发现与思考的途径。

思学生之思，这其中值得我们去思考和探索的空间还很广阔。因为，数学课堂中，无论是热烈的氛围，还是冰冷的外表，最为重要的，是有没有“火热”的思考。为了学生那沉思的表情、闪烁的明眸和豁然的愉悦，我们必须思之、行之、再思之！