杨婧 数学 期初论文

放手，是一种最大的鼓励和信任

————“立体图形的体积”复习课实践探析

作为老师的应该以提问为生吧？！因此，一直以来，课堂教学中，我做的最重要的一件事情就是学习如何设计有效的、精彩的问题让学生解决，以此组织课堂教学，这样可以使课堂在我可控的范围内。但是这样的课堂，我也意识到了它的问题：因为是老师的设计安排，所以课堂上学生关注的问题其实是从老师的角度认为他们需要关注的问题，课堂更多地是为了老师顺利地将教学内容教给学生而存在，而忽视学生的真正需求和能力起点。这样的感受，在执教了《立体图形的体积复习》这一节课后，有了充分的体现，从最初的教学设计，经过几次磨课修改，形成最终的教学设计，整个过程，我的教学理念也在一步步发生变化，下面，就这节课的两次教学设计谈谈我的收获和思考。

 

 （一）复习课重要的功能之一，促进建构、优化认知结构。在课堂教学中，怎样帮助学生梳理知识，有效引导学生自主经历整理的过程，构建知识网络，并在交流过程中，进一步优化自己的知识结构，两种思路，两种获得。

1、构建知识框架，发挥学生集体的智慧

片段一：

一、交流复习，巩固旧知

师：今天这节课我们一块来复习立体图形的体积。你们通过以前的学习，对立体图形的体积有哪些认识？

（学生分小组先交流）

学生汇报交流结果。

生1：我知道了常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。容积单位有升和毫升。（教师板书）

生2：我们小组了解到物体所占空间的大小叫做体积。（教师板书）

生3：我们还掌握了长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的体积计算公式。

（学生边说教师边整理）

……

思考：这一环节最初的设想，要尽可能全面的复习到每一个知识点，在这个基础上基于学生是课堂的主体，，因此，安排学生通过小组交流尽可能经历自主整理的过程，达到进一步理解立体图形体积的内容的目标。但是容易发现，看似开放自主的过程，存在需要思考的问题；1、学生在课上直接交流对立体图形体积有哪些认识，问题大而抓不着头绪，这样毫无准备的交流会耗去很多时间，2、看似开放，实则谨小慎微地引导学生条分缕析地罗列每一个知识点，自主性、开放性大打折扣。因此，怎样真正地引导学生自主、有效地整理，唤醒已有的知识经验，是这一环节重点要解决的问题。出于上述考虑，对这一环节作了相应的调整，有了以下课堂教学片断。

片断二：

（一）回顾整理

师：同学们应该知道，今天我们要一起研究……

   （生齐说：立体图形的体积）

师：那关于立体图形的体积有哪些内容呢？课前同学们已经进行了整理，接下来

每位同学拿出你的复习纸，把你的整理在小组里交流一下，重点看一看哪些

内容其他同学整理到了，而我忘记了，可以吗？

    小组讨论，师巡视。（时间达4分钟）

师：老师看到每个小组讨论得都很细致。接下来我们一起来交流一下，谁愿意

向全班介绍一下你整理了什么？

生1：（生鼓掌）首先长方体体积公式是长×宽×高，正方体的体积公式是棱

     长×棱长×棱长，圆柱体的体积公式是底面积×高，圆锥体的体积公式是

     底面积×高，再÷3或者×。

师：恩好的，听了她的介绍，看了她的整理你有什么想说的？

生：我有两个小问题，第一个是体积公式前面要加一个V，第二个就是这种

      相乘的乘号可以省略。

师：可以吗？（生齐说：可以）

生2：这三个立方体有一个共同点……

师：有什么共同点呢，把你的整理拿到投影下和大家分享一下你的整理！

生2：就是我发现这三个立方体计算体积的时候都可以用底面积×高来计算它

      们的体积。

师：看了你的整理，除了这个还有其他的内容，向大家介绍一下。

生2：我另外还整理了体积的定义，体积的定义是一个物体所占空间的大小，

     我还整理了容积的定义，容积的定义是一个容器所能容纳物体的大小，

     这两个定义，体积和容积是不一样的。另外我还整理了体积的单位换算，

     常用的体积单位有立方厘米，立方分米，立方米。我画了一个图，这里

     画了一个正方体，这个正方体的棱长是1分米，我把这里每个棱长分成

     了十份，就是1厘米，所以棱长为1分米的正方体可以分成一千个棱长

     1厘米的正方体，所以体积单位中每两个相邻的体积单位进率是1000。  

师：下面同学可以理解吗？（生齐答：可以）

师：好，现在我们一起来理一理刚才的整理，佘天仪除了给大家整理了体积的

计算公式外，还带大家一起回顾了……（生说：体积单位和进率）体积以及

容积的单位。还有呢？也就是意义。

 

以上教学过程，可以看出和片段一的设想发生了很大的不同：少了原先的谨小慎微，课堂真正更大程度地放手给学生，将话语权交给学生。当然，这样的放手，较之之前，采用了课前小研究纸，给出了相对明确的要求：关于立体图形体积有哪些内容，请用你认为合适的方式进行整理。这样的设计出于如下考虑：放手让学生经历自主整理的过程；给足学生充足的时间思考，体现个性化的整理方式。在这个过程中，老师只是明确了交流的要求，三位同学的整理基本达到了预期的目标，并且有自己独特的想法，如用图示解释相邻体积单位之间的进率是1000，从这一图上正好也回顾了长方体的体积是通过摆小正方体推导而来的。这样，比起新授的实际操作，体现了复习课更高的思维要求和组织概括能力。

 

2、优化框架，沟通体积公式之间的联系

片段三：

二、归纳整理，沟通联系

师：同学们说的非常好，看来对立体图形的体积掌握的不错。你们能用自己喜欢的方式对立体图形的公式进行整理吗？

（学生各自进行整理。）

展示整理结果，并让学生说一说自己的想法。

师：为什么长方体、正方体、圆柱体可以用一个共同的公式来表示呢？

圆锥体的体积和它们又有什么联系和区别呢？

思考：这样的整理引导循规蹈矩，在教学时学生应该会能够想到重点，并且不会产生其他的想法，教学过程会比较顺畅。但是学生的思维受到抑制，课堂又成了一牵一引的状态，学生也兴趣索然。

片段四：

师：好，接下来我们重点来看一下两位同学对体积公式的整理。

（给学生片刻思考）

比较一下，你发现有什么不同的地方？

生：我觉得后面这位同学，这个她把长方体、正方体、圆柱都用底面积乘高来计算。

师：那想一下为什么长方体，正方体，圆柱的体积都可用底面积×高来计算？

生1：长方体可以切成若干个小正方体，它由若干个小正方体加起来形成一个底面，正方体和长方体是一样的，然后圆柱它可以切成变成一个长方体，所以它的体积计算方式和长方体也是一样的。

师：好的，你想到了操作，那有没有同学能从公式的角度来解释一下。

生2：从公式看出，第一个ab表示的是这个长方体的长×宽，也就是长方体的底面积。然后a² 算的是正方体的底面积， πr² 算的是圆柱的底面积。

师：因此我们都可以用V=sh，是吗？再看一看余雪瑢的整理，她的图画得虽然比较小，但她这几幅图其实都有涂色部分都表示这些立体图形的……

生：底面积。

师：所以他们的整理有异曲同工之处。好的，那么接下来我刚来在下面看了一下，我发现有一位同学的整理很有意思。接下来我想请她上来给大家展示一下。

师：我想先问问下面同学，有没有看懂她这幅图的意思？

生：长方体可以推导出正方体和圆柱体的体积，圆柱的体积又可以推导出圆锥体的体积。然后，她这边是一个放大镜，解释了为什么圆锥由圆柱转化而来。就是把圆锥灌满水，倒到圆柱中，倒一次就是圆柱体积的，所以得出了圆锥的体积就是与它等底等高的圆柱体积的。

     

生：有个问题，就是它应该在一个前提下，就是等底等高的一个圆柱和圆锥，它

们的体积是。

师：回想一下，开始我们是如何把圆柱转化成长方体来推导它的公式的？有没有

    同学画了图？结合图来给大家讲一下吧！

生：我们可以沿着圆柱的直径把它分成许多个小扇形，然后把扇形拼成一个近似于长方体的图形。这儿如果把圆柱分的次数越多，它的这个图形就越像长方   体。然后这个长方体的底面就是圆柱侧面积的一半，然后它的高就是这个高。所以我们可以得到圆柱体积的另一个计算公式，侧面积的一半×半径。

师：有没有同学听懂这样一个解释？他还给大家解释了……圆柱体积的另一种推

导公式。

师：现在，我们来回顾一下，我们一起整理了哪几种立体图形的体积？

生：长方体、正方体、圆柱和圆锥。

师：好，长方体的体积怎么算？

生：（齐答）

师：现在谁可以上黑板来把这些体积公式按它们的推导联系重新摆一摆？

 

“立体图形”知识的复习，需要学生头脑中储存的表象及形成的空间观念的充分参与。在此基础上，充分尊重学生真实的学习感受，以开放的、包容的课堂氛围激发学生一点一滴地在脑海中搜寻所学知识。整个过程，知识的挖掘点都来源于学生的整理，学生对于这些问题的想法在互相的激发、交流中，及时得到补充和完善，将那些具有内在联系的知识点在分析、比较的基础上连在一起，如长方体、正方体和圆柱的体积公式共同点，得出立体图形公式推导的联系图，不断将零散的点连接形成良好的知识网络结构，积累归纳整理的活动经验。

 

 

 （二）复习课，需要突出知识的重点、学习的难点、学生的弱点，因此需要有基础练习的巩固，以问题解决为载体，查缺补漏，以此作为学生知识体系的生长点并对知识的错误点及时纠正。同时，又需要在解决问题的基础上进一步优化解决问题的方法和策略，进行重新建构和梳理。

 1、基础练习的设计，温故而知新

   片段六：

1、判断对错

①长方体、正方体和圆柱体的体积都可以用底面积乘高来计算。 ……………………………………………………            （      ）

② 圆锥的体积是圆柱的。……………………………            （      ）

③ 等底等高的长方体和圆柱它们的体积一定相等。……            （      ）

④把一个长方体削成一个最大的圆锥，削去的部分是这个长方体的23 。………………………………………………………           （      ）

先让学生在练习纸上独立完成再分小组讨论结果。

学生练习，交流。教师巡视。

汇报结果，并让学生说一说在讨论中遇见的问题及所得的收获。

 

2、计算下面三个容器中水的体积。   （单位：米）

2

2

3

 

思考：判断题和计算题的选择，意在突出基础，巩固扎实。在进一步熟练运用体积公式的练习上，已经考虑做了调整，把求容器的体积改成了求容器中水的体积，但是这样的变动并没有增加学生的思维高度，反而变成了一个重复的代入公式计算的过程，意义、作用不大。

于是，在保留判断的基础上，将体积计算替换成一组填空，具体调整如下：

片断七

出示：

你理解透了吗？

一、填空

1、两个等底等高的圆柱和圆锥，如果圆锥的体积是30立方厘米，圆柱的

   体积是（90）立方厘米，如果圆柱的体积是30立方厘米，圆锥的体积是（10 ）

   立方厘米。

追问：这道题我们是抓住什么来解答的？

 

2、把一个底面直径和高都是4分米的圆柱的底面分成若干等份，再切开拼

   成一个长方体。这个长方体的长是（ 6.28    ）分米，宽是（ 2   ）分

   米，高是（ 4   ）分米，体积是（   50.24    ）立方分米。

 

3、一个圆锥的体积是80立方分米，底面积是16平方分米，高是（ 15  ）分

米。

师：你觉得这道题有什么要提醒大家注意的？

 

分析：复习课的最终目的是促进学生在原有的基础上都能得到发展。上述练习的设计做到形式多样、内容丰富、层次清楚，引导学生将抽象的概念整理与具体数学应用有效对接，正如课件的呈现，你理解透了吗？将课堂带入对基础知识的扎实巩固过程中。题虽小，但复习的知识点涵盖丰富，比如熟练运用等底等高的圆柱和圆锥的关系，熟悉圆柱体积公式的推导过程…引导学生综合运用知识熟练解决具体问题。

 

2、巩固应用，深化拓展题，谁的安排更合适

片段七：

准备信封袋，袋中装有三组题，每个小组讨论一题。

信封1：

如图,想想办法,你能否求它的体积?  ( 单位:厘米)

 

 

 

 

信封2：

李小明准备用一张长方形铁皮做一只圆柱形油桶，他设计了如下图所示的裁剪方案。（分米）

 

 

 

 

 

你觉得他这种设计方案合理吗？为什么？

 

信封3：

一个酒瓶里面深30厘米,底面直径是8厘米,瓶里有酒深10厘米,把酒瓶塞紧后倒置(瓶口向下),这时酒深20厘米,你能算出酒瓶的容积是多少毫升来吗?

思考：为了体现拓展性，思维性；同时体现数学在实际生活中的操作应用，因此在选题时，考虑了几个方面：1号题关注将不规则形体通过切割、移补转化成熟悉的规则形体的转化思想；2号题体现数学与实际生活中的联系，实际应用；3号题需要学生细致的观察力和对问题的分析力。但是，这样的安排出自老师的想法，虽然采用小组讨论的形式，学生表达的欲望并不强；而且是这部分复习内容的第一课时，习题的选择上与温故的知识跨越性大，没有很好地实现“温故”的作用。

片断八

三、我的推荐（易错题、好题分析）                                 

师：好的，看来老师的题难不倒大家。课前每位同学也自己推荐了一道题，现在

先在小组里交流一下，最后小组选出一道精品题，向全班同学推荐，可以吗？

（小组交流讨论，师参与小组讨论）

学生推荐题：

一种圆柱形木料，底面半径为1.5分米，问10根这样的木料的体积是多少？

（生独立解答，指出提醒）

师：他在出题的时候考虑到了题目中可能会出现陷阱。下面有没有同学也是从这个角度出题的？

生：有一个棱长10厘米的正方体熔铸成底面直径为20厘米的圆锥，求圆锥

     的高？

师：让大家找一找你这道题中哪里存在陷阱，是吗？下面同学看一下。

生：这是一个圆锥而不是圆柱，要乘。

师：是这样吗？哦，提醒大家注意要乘。好的，还有没有同学有这样的题？

生：我出的题和他的差不多，但是他的除不尽我的除得尽。

 

师：其实我觉得他们的题除了存在陷阱，它们还有一个很大的共同点，

   刚才的熔成、铸成……我想问一下，这个铁块是什么形状影不影响这道题的解决？

生：不影响。

师：为什么？

生：就是说圆锥的体积就是原来铁块的体积。

师：也就是说把铁块的体积转化成了圆锥的体积，进行了等积转化。

推荐题：

在一个半径为10厘米，高为11厘米的圆柱体容器中注满水，再把容器中的水倒入一个边长为3厘米的长方体容器中，这个容器至少多高才能装满这些水？

师：好的，给点时间大家思考一下。

生1：先算出圆柱的体积，然后用圆柱的体积除以长方体的底面积就能求出高。

生2：这道题的结果是1744.4……如果它保留两位小数，把第三位4舍去的话，那这道题高度上就不够了，所以必须往前进一位。所以这道题的答案应该是1744.45厘米。

师：是你要的答案吗？

生3：恩。

师：谢谢你推荐的题。

【分析】：

修改后的“我的推荐”这一环节，体现了很大的开放性，本着让学生带着自己的问题进入课堂，试图让学生的想法在交流过程中得到碰撞，从而修正完善自己原先的想法。而这些预想的实现，是因为练习什么，讨论什么题都由学生自主安排。因为是自己根据这部分内容选出的题，所以每个学生都对自己的推荐有话想说，有话可说，这样最大程度增加全体学生的课堂参与度，提高表达想法的积极性。同时，学生对于重点、好题的理解，反而更好地贴合了一开始的知识巩固。

当然，修改后的教学设计相对之前的有所突破。但是当课堂托呈学生的精彩，教师的把控就没那么容易了。修改后的教学过程仍然存在很多不足和遗憾，最明显的感觉是最后一环节的开放，让我心中不断地产生“接下来怎么办？”的想法，预想了一串线，由提醒题目中的陷阱，引出等积转化的题目，再到已知表面积的变化求体积，如果时间允许，希望还能讨论一个立体图形与比例知识结合的问题。但是，显然，既然将课堂交给学生，学生当然有自己的思路。当让学生提供题目中存在陷阱的题目时，紧跟着的两道题在这个问题上都不是很典型，没有充分把这一点让学生感受到解题时要注意陷阱的问题。并且当中出现的一位学生坐在下面两次“插嘴”，因为考虑他的字写得潦草不清，又是个倔强的人，所以我试图忽略他的意愿，但是没有其他学生举手，而他又一再表达自己的观点，我意识到，现在他是我唯一的选择了，需要让他上台表达一下想法了。

    学生一上来，题一出示，我先入为主的认为题思路不难，只是在计算上刁难大家，所以我的引导指向是要尽快结束这题，尽量不拖时间。于是有了我在课堂上这样的引导，“这道题计算是不是有些复杂，这样请位同学来说说思路吧！”但这个学生依然坚持大家把答案算出来，当时我就感到坚持肯定是有理由的，所以在其他同学思考时，我和他简单的交流了一下，明白他的意图之后，我就不急着要结束了，也正巧有个学生计算的比较快，分析时也清楚的讲到了这位同学要提醒大家注意的，有时不是简单地四舍五入，需要根据实际情况“去尾”或者“进一”。这道题的这一点我没有在最后引导学生总结一下，让这个比较好的提醒没有充分发挥作用。就这个过程，最后我是感激这位同学的，他坚持自己的想法，对自己要表达的意图心中十分明确，所以才“固执的坚持，倔强的要求”。也让我意识到在学生出现我未意识到的情况时，不是着急按自己的想法引导学生，而是能静下心尽快理解学生意图，并且发挥学生的力量，让他们沟通交流。这一次的尝试，我明白放手是对学生最大的鼓励和信任，学生真正的获得比我们给的会多得多！