也说一题多解 滕昌英
- 发布时间：2016-02-26 11:18
- 作者：滕昌英
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也说“一题多解”。
南京师范大学附属小学 滕昌英 201602
在互联网时代之前，一个人如果不经过学校教育，就是“睁眼瞎”，现今社会，人们获得知识的途径非常多，“获取”知识不是一件困难的事，困难的是你如何理解、判断、利用知识。“学以致用”是学习的根本目的，而学习的目的则是教育的根本。所以作为教育者，必须在教授知识的过程中把培养能力当做第一要务。
知识、技能的习得需要通过不断练习。反复练习，熟练度大增，对于考试成绩的提高有明显作用，这就是题海战术被推崇的原因。但是，大量机械地练习，会让人倍感烦躁，产生厌学情绪，所以“题海战术”一直被诟病为扼杀思维能力、加重学生负担的罪魁祸首。
但是，学习任何知识都必须通过适度练习才能加以掌握，当然练习量应该因人而异。因此习题设计对教育者有很高的要求——以适当的、较少的练习量既要能巩固所学知识，更要在解题过程中发展思维、开拓思维，培养积极向上的学习品质。
“一题多解”无疑是解决这个矛盾的非常好的一个方法。
“一题多解”有两层含义：一道题有多种不同的答案；一道题有多种不同的解法（答案只有一个）。
一题有多种答案
一道题有多种不同的答案，主要是因为题目中的条件、问题不完全、不明确造成的。
例1：小华、小方的家和学校在同一条马路上，小华家离学校500米，小方家离学校800米。沿这条马路从小华家到小方要走多少米? 因为题中没有明确小华、小方家在学校的两侧还是同侧，这道题就有了两个答案：
在学校同一侧 800-500=300（米）；
在学校两侧 800+500=1300（米）。
如果题中不明确“在同一条马路”，那么答案就更多了。
再如例2：在括号里填上合适的单位名称使等式成立 2（ ）=2000（ ）
答案有：2吨=2000千克 2千克=2000克
2立方米=2000立方分米 2立方分米=2000立方厘米
2升=2000毫升 等等。
这类题的设置可以促使学生主动、细致地审题，对培养思维的严密性有很大的作用。而例2的思考过程则高效地沟通相关知识点间的联系，在复习课中可以多加使用。这些开放的答案促进了学生开放地、严密地思维，培养了思维的广度。
有时教育者也可以设计根据条件先提出问题或根据问题补充条件一类的练习题，这样的题往往会有很多种答案。这种条件和问题的开放题，其实是让学生编出了很多道不同的题，每道新编题只有唯一的答案，并不是我上文中所说的“一题多解”。但是给学生的感觉：虽然做了一片题，实际只是一道题。
这些“多解”题，虽只有一题，却达到了许多题的练习效果，必然大大激发学生学习的好奇心和学习激情，无疑提高了学生学习数学的兴趣。
一题有多种解法
一题有多种解法，但多种解法相互印证，答案只有一个。
传统的数学题条件设置得很严密，再多、再复杂的条件只指向一个答案。但因为分析、思考的角度不同，往往会有多种解答方法。这类题相比“一题多种答案”的题，更能培养学生思维的深度。
以苏教国标版小学六年级下的一道习题为例（教材第32页第9题），说说如何利用一题多解训练学生思维，以达到高效学习的目的。题目：
看图分析，“求蒙古包所占空间”就是求蒙古包的体积，但这个蒙古包并不是小学生在教科书中学过的任何一种形体，它的体积并不能直接计算。那么，能将蒙古包转化为其它形体吗？
班级学生做题时共有以下8种解题方法，从8种解法的探究过程中能看出这道题对学生的影响是多方面的。
一、以多种方式加深数学化进程。
解法1：蒙古包所占空间列式为：
3.14×（6÷2）2×2＋3.14×（6÷2）2×1×3。
六年级的学生已经能快速将蒙古包分解成学过的两种形体——圆柱和圆锥，上部是底面直径6米、高1米的圆锥，下部是底面直径6米、高2米的圆柱。求蒙古包所占空间就是求这两个形体的体积和。将蒙古包分解成两部分之后学生脑海中能条件反射般地现出圆柱和圆锥的体积计算公式。分别计算出体积后再求和即可得出蒙古包所占空间。
这是绝大多数学生首先使用的方法。思考过程几乎算是本能的符号联结。
这种解法要求学生解题时将题中的语言、文字主动地和数学模型、符号相结合，这种数学化的过程是学好数学的必经之路，学生在积累各类数学知识的过程中，已然在头脑中建立各种数学模型，形成各种数学符号，并能主动沟通其间联系。实际解题时，将语言文字、具体图像抽象为数学模型、符号、数学语言，能让学生快速解题，快速学得数学知识，在学习知识的过程中培养思维能力。
“数学化”是学好数学的最基本能力。如果仅仅为了解答这道题，这无疑是最直接、最简单、最易被学生理解的思考方法。学生得到训练的仅仅是最浅层次的思维。我们不应就此满足，必须抓住数学课堂这个重要环境培养学生的思维能力，而不仅仅满足于解题。于是我们可以问：还有其它方法吗？
解法2：将蒙古包看成一个底面直径6米、高（2＋1）米的圆柱再将上部削成底面直径6米、高1米的圆锥，需要削去底面直径6米、高1米的圆柱体积的3。蒙古包所占空间列式为：
3.14×（6÷2）2×（2＋1）－3.14×（6÷2）2×1×（1－3）
解法2不能直接利用原题的条件，需要找到题中图形之外的信息----在学生的脑海中不是一幅静止的画面，而是一个动态的过程：一个圆柱的上部分被削成圆锥。这也是数学化的过程，显然这个过程要比解法1的过程深刻些。
这个方法相比解法1似乎有些复杂，但它和解1的思维的角度有所不同。
也许不是每个学生都会有这种思考方法，但在课堂教学中，群体学习的优势使得一些学生从同伴那里得到启发，逐步内化形成自己的思考方法。有了这种思考方法，但是解答这道题时就比较简单了：将一个三条边分别为3、4、5厘米的直角三角形绕直线a顺时针绕旋转一周，所得到 a
的旋转体的体积是多少？
二、利用数学思想方法、发展数学思想方法。
上述两种解法都利用了圆柱和圆锥两种形体进行计算，能否将两种形体转化为一种形体呢？回忆圆锥体积计算公式的推导过程（圆柱、圆锥两个容器，等底面积、等高，用圆锥形容器装满水倒入圆柱形容器中，刚好要倒3次），可以想象成：圆锥形的水体在这个圆柱形容器中变成了圆柱形，不过变形后的圆柱形水体高度只有圆锥形水体高度的3；圆锥形水体的高度是这样的圆柱形水体高度的3倍。于是又有了不同的解法。
解法3：将蒙古包上部的圆锥看变形为底面直径6米、高3米的圆柱（底面积和体积相等的圆锥的高是圆柱高的3），和蒙古包下部的圆柱合并为底面直径6米、高（2＋3）米的圆柱，蒙古包所占空间列式为：
3.14×（6÷2）2×（2＋3）
解法4：将蒙古包下部圆柱变形为底面直径6米，高（2×3）米的圆锥，再计算这两个圆锥的总体积。蒙古包所占空间列式为：
3.14×（6÷2）2×1×3＋3.14×（6÷2）2×（2×3）×3
解法5：解法4中的两个圆锥可以变形为底面直径6米，高（1＋2×3）米的圆锥，蒙古包所占空间列式为：
3.14×（6÷2）2×（1＋2×3）×3。
“转化”“等积变形”的数学思想方法在这三种解法中得到了应用，题目的解答过程也促进了“等积变形”思想方法的形成和发展。数学思想方法不是在哪一节数学课中学会的，在所有的数学学习活动中数学思想方法无所不在，作为教育者，应该抓住每一个机会进行数学思想方法的渗透。形成并发展数学思想方法才能更好地体现出数学这门功课的工具性，实现学数学的终极目标。
三、沟通知识间联系，以“旧知识解决新问题”，培养积极向上的品质。
五种解法的得出大大提高了学生的好奇心，激发了他们进一步探究的欲望。在小组合作探究下，又有了这些解法：
解法6：如果将底面直径6米、高1米的圆柱体积看做1份，则蒙古包下部圆柱体积是这样的2份，上部圆锥体积是这样的3。蒙古包所占空间列式为：
3.14×（6÷2）2×1×（2＋3）
解法7：如果将蒙古包上部底面直径6米、高1米的圆锥体积看做1份，则蒙古包下部圆柱体积是这样的（2×3）份，蒙古包所占空间列式为：
3.14×（6÷2）2×1×3×（1＋2×3）
解法8：如果将蒙古包下部底面直径6米、高2米的圆柱体积看做1份，则蒙古包下上部圆锥体积下部圆柱体积的2*3，蒙古包所占空间列式为：
3.14×（6÷2）2×2×（1＋2*3）
解法6、7、8根据底面积和高都相等的圆柱和圆锥体积之间的关系，采用分数和倍数的方法解决问题，不但深化了对圆柱、圆锥相关知识的理解，还有效沟通了各知识点之间的联系，更使学生感受到：从已有的旧知识出发，能解决很多、看似很难的问题，学习不可怕，只要我们扎扎实实地走好每一步，就能登上高峰。
当我们整理好这八种解法，将算式罗列在黑板上，可以想象会给12岁的小学生带来怎样的震撼和成就感。
如果将这8种解题方法分类，不难发现：思路有直接复杂，计算有简单有繁琐。
但是每种解法都有自己独特的思维角度，思维的深度和广度也各有不同。这道多种解法的题，不但培养了优质的思维，促进了思想方法的形成发展，更使学生的情感和价值观有了进一步的升华。
是否应该在八种解法中评出优劣呢？“适合的才是最好的”，当然无需评出优劣，因为每种方法都会给“不同的人得到不同的发展”。
如果我们在教学中只满足于第1种最直接的解法，无疑浪费了一个极好的开拓学生思维的机会，仅仅只做了1道题。多问一句“还有其它方法吗”让学生表面做1题实际却达到了8题（其实是整片题）的练习效果。“一题多解”不是题海，而是充满智慧和挑战的海。学生在做题的过程中积极思考、主动探究、团结合作而带来的成就感是无可比拟的。
“一题多解”没有“题海”带给的枯烦燥，有的不断被激发的人类内心深处的好奇心和创造欲。
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