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钱泓 数学 为促进学生的思考而教

  • 发布时间：2016-09-02 16:21
  • 作者：钱泓
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为促进学生的数学思考而教
——“解决问题的策略（替换）”的教学实践与反思
一、背景与问题
我们多次听老师执教“用替换的策略解决问题”一课，其教学思路一般都是：
1、用《曹冲称象》的故事情境，引出替换的策略。
2、出示例题，探索运用替换的策略
出示教材上的例题：把720毫升果汁到入6个小杯和1个大杯，正好倒满。小杯的容量是大杯的1/3。小杯和大杯的容量各是多少？
（1）画图理解 （2）尝试解答 （3）反馈总结 （4）检验解题过程（5）总结反思策略
3、拓展运用，巩固策略
（1）出示书上的练一练：钢笔的单价是铅笔的6倍，小红买3支铅笔和1支钢笔共用去18元，钢笔和铅笔的单价各是多少元？
（2）在2个同样大的大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是100个。每个大盒比小盒多装8个，每个大盒和小盒各装多少个？
每次听完课后，我们都一直在思考这样几个问题：
（1）问题之一是，听课时，我们问一位已经把题目解答出来学生：“你知道解决例题中‘倒饮料’的问题和‘曹冲称象’的故事之间有什么联系吗？”这位学生摸摸脑袋，想了想说：“曹冲很聪明，我们在做题的时候也要动脑筋，想办法。”课堂上，教者的意图很明显，想通过《曹冲称象》这一故事的引入，让学生体会替换的思想，但教学的实际效果是：很多学生只停留在故事表面的情节之中，没有通过故事进行沟通和联想，也就是说没有形成数学思考，这是什么原因呢？如何架设故事情境和解决问题策略之间的联系呢？
（2）问题之二是，教学例题时，教者根据教材安排的内容，利用插图和教材中的提示问题，借助多媒体课件清晰的演示了替换的过程，帮助学生理清替换的思路这一过程详细而周密，学生似乎对替换的方法理解很深刻。但学生独立解决问题的时候，部分学生拿到题不知道怎样分析题意，部分学生用方程去解决问题，还有部分学生虽然列出算式，算出了答案，但不能很清楚地说出思考的过程。我们在跟学生访谈的时候，很明显感到是学生对替换的方法的理解不够深刻，不能清晰地说出是如何进行替换的，更谈不上感受替换策略的价值。那么，替换策略的核心思想究竟是什么？怎样才能让学生形成替换的策略意识？
（3）问题之三是，教材中通过例题安排的是两个量之间是倍数关系之间的替换，在练一练中安排了两种量之间相差关系之间的替换问题，在例题教学的时候，部分学生还能感受替换的策略思想。在练一练的时候，很多学生喜欢用列方程的方法解决问题，教师为了避免错误，也默许了这种方法。解决问题策略的教学目的是什么？是为了做题而做题，还是为了感受替换策略的价值呢？是为了解题的正确性？还是为了促进学生的数学思考、发展学生的思维能力呢？
 
二、思考与尝试
问题解决策略的教学不能等同于解决问题的教学，本节课应该通过教学使学生初步学会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系，并能根据问题的特点确定合理的解题步骤；引导学生经历策略形成的过程，让学生深刻领会替换策略的内涵，使学生在对解决实际问题的过程中不断反思，感受替换策略对于解决特定问题的价值，促进学生的数学思考；使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验。带着这些思考，我们进行了一次教学尝试，教学过程如下：
一、渗透替换思想
1、师：做一道简单的数学题：1+1＝？学生齐答：等于2
师：对，例如1天加上1天就是2天，1本书加上1本书就是2本书。
2、如果是1天+1星期＝？ 能不能直接等于2？为什么？
师小结：这两个“1”的单位不一样，也就是标准不同，要把它们转化成同一个标准。
板书：                 转化
不同――――――――――同
3、师：可以怎样转化呢？
生1： 把1星期换成7天，1天+7天＝8天
       生2： 或者把1天换成1/7星期 1/7星期＋1星期＝8/7星期
4、师：能不能将1星期换成6天或者8天呢？（引导学生理解换成后数量要相等）
5、师小结：刚才解决这个问题的过程中，我们就运用了一个策略，称之为替换的策略。今天我们就来研究哪些问题可以用替换的策略来解决，如何替换。
反思：其实替换的策略、转化的思想不仅仅蕴含于经典的故事里，在日常生活中也随处可见。如何引导学生敏锐的发现熟悉的日常生活中包含的数学思想方法，充分的理解它并能付诸于应用，需要老师潜移默化的引导和渗透，教师要有意识地培养学生用数学的眼光去观察生活、去思考其中蕴含的数学思想的习惯。
二、理解等量替换
生活中这样的例子很多：
1、1大杯的牛奶正好可以倒满2小杯
（1）你想到了什么？板书：1大杯＝2小杯
（2）思考：4大杯可以倒多少小杯？怎样把大杯换成小杯？
    想：1个大杯＝2小杯，4个大杯就换成（4×2）个小杯
（3）4小杯可以倒多少大杯？怎样想的？
         想：1个大杯＝2小杯，4个小杯就换成（4÷2）个大杯
（4）小结：我们可以把大杯换成小杯，也可以把小杯换成大杯，但是在换的时候要注意什么呢？（牛奶的质量要相等）
2、出示：大盒比小盒多装5个球
思考：（1）如果3大盒的球换成小盒装，会怎样？
       引导学生理解3大盒的球＝3小盒的球＋（3×5）个
（2）如果3小盒的球换成大盒装，会怎样？
引导学生理解3小盒的球＝3大盒的球－（3×5）个
（3）在把大盒换和小盒互相替换的时候，要注意什么？（球的个数要相等）
反思：替换策略的核心思想是等量替换，如何让学生理解两个量之间的关系是教学的重点。本环节中，通过抽取核心的数量关系让学生理解和分析，可以引导学生把握数量关系的内涵，加深对等量替换的理解。
三、解决实际问题，体会替换策略
1、出示：一条带子长180厘米，正好剪成了9根同样的短条。每根短条长多少厘米？ 学生列式：180÷9=20（厘米）
2、如果换一种方法剪，你能求出每根短条长多少厘米吗？
出示：一条带子长180厘米，正好剪成了6根同样的短条和1根长条。
思考：能直接求出每根短条长多少厘米吗？为什么？怎样才能求出一根短条的长度？
生1：题目中既有短条又有长条，不能直接求出一根短条的长度
生2：告诉长条的长度，去掉长条，剩下都是短条，就可以直接求出了。
生3：如果告诉长条与短条之间的关系，就可以把长条变成短条了。
师：这两个同学的想法很好，这两种方法之间有没有共同点呢？
引导学生理解：如果剪出的都是长条（或短条），比较容易解决。如果剪成两种不同的条子，可以想办法转化成一种条子。
反思：教材中的例题主要采用的是“例解”的方式，教师如果直接出示例题，用多媒体演示替换的过程，这些只是从外部传递对策略的理解。在这种教学方式的影响下，学生只能是被动的接受这一知识，未能产生真正的内心冲突，没有亲身的体验，所以对策的感受不深刻。笔者在教学中改变了例题出示方式，通过出示两种不同的剪法，引起学生的认知冲突，在比较中经历了“不同”向“相同”转化的过程，感受了替换策略解决问题的价值。
3、出示：短条的长度是长条的1/3。
（1）你是怎样理解的？提炼：1根长条的长度＝3根短条的长度
（2）我们学过了一些解决问题的策略：比如列表、画图等，这道题你想到用什么方法来解决？
引导学生自己画出线段图理解题意，教师再相应出示直观的带子图。
（3）思考，你准备怎样解决？先独立思考，自己解决问题，然后小组内交流想法。
反思：教材中例题的素材是用“倒饮料”，大杯和小杯之间替换的思考过程只能在多媒体上演示，因而学生的感受和体会不够深刻。笔者在教学的时候改变例题的素材，用“剪带子”引入例题，有两点优势：一是带子图有利于学生直观的理解“短条是长条的1/3”之间的关系，可以在头脑中借助带子的表象去思考其中的等量关系，思考替换的过程；二是替换策略的形成，不仅仅是头脑中的抽象思维，还需要借画图这种方法帮助学生理解其中的等量关系，“剪带子”容易让学生联想到用画图的方法理解题意。
4、全班交流，理解算法
（1）怎样替换呢？
     A 根据算式理解：180÷9=20（厘米）说一说9是怎样得来的？是怎样想的？把什么换成了什么？（引导学生结合图理解）
     B 根据算式理解：180÷3=60（厘米）说一说3是怎样得来的？是怎样想的？把什么换成了什么？（引导学生结合图理解）
5、反思策略：
（1）说一说：你是怎样解决这个问题的？
A 如果把长条换成短条，怎样换？
B 如果把短条换成长条，怎样换？
（2）为什么可以这样替换？
引导学生感受等量替换，无论怎样替换之后的带子的总长度是不变的。
（3）替换后有什么好处呢？
引导学生理解：原来有两种不同的量可以转化为同一种量，使问题解决由复杂变为简单。 板书：复杂―――――简单
6、进行检验
计算的结果是否正确呢？想一想可以怎样检验？
将结果带进去进行检验，6根短条和1根长条是不是一共180厘米，长条的长度是短条的3倍。
反思：对学生的发展而言，解决问题的学习价值不仅是获得问题的结论或者答案，课堂上不能以解决问题来代替策略的教学。教学中不仅要关心问题的答案或者结论是否正确，更要关注学生在解决问题的过程中采用了什么方法，以及这样的方法是怎样想到的，也就是要重视反思数学思考的过程。让学生真正深入到数学化的过程中，真正抓住数学思考的内在本质，以提高学生的数学思考能力，改进自己的学习。
四、练习，进一步理解策略
1、练一练：出示图：
                                 钢笔的单价是铅笔的6倍
                                小红买3支铅笔和1支钢笔共用去18元
                                 钢笔和铅笔的单价各是多少元？
 
（1）你会用替换的策略吗？可以怎样替换呢？先画一画，再解答。
（2）怎样检验你的结果是否正确？
（3）为什么不把铅笔替换成钢笔？
教师小结：在解决实际问题的时候，一般选择简单容易的方法来解决。
2、课堂练习：
把100个球装进3个大盒和8个小盒里。每个大盒装的个数是小盒的4倍。大盒、小盒各装几个球？、
想：把3个大盒可以换成（ ）个小盒，一共有（ ）个小盒。
把8个小盒可以换成（ ）个大盒，一共有（ ）个大盒。
反思：“熟练地运用策略解决相关的问题” 并不是这一节课的主要教学目标，但是学生只有在对解决实际问题的过程的不断反思中，才能感受“替换”策略对于解决特定问题的价值，从而进一步发展学生分析、综合和简单推理的能力。对于替换的两种形式，如果只是蜻蜓点水式的一带而过，可能只有少数学生体会到策略的妙处，更谈不上“爱策略、用策略”意识与能力的培养了，所以在练习中，根据学生思维能力的把握，笔者删除了教材替换的另一种形式“相差关系”替换形式的练习，对“倍数关系”的替换形式做了丰富而恰当的补充，帮助学生理清了替换的思路，感受替换解决问题的作用，教学扎实而又有深度。
3、拓展练习
一个减法算式，被减数、减数与差的和是120，已知差是15，减数是多少？
（1）这道题可以用替换的策略来解决，可以怎样替换呢？
（2）你能找到其中的等量关系吗？
反思：学生在解决这个问题的时候，出现了两种想法：
       解法一               解法二
120÷2=60            120-15×2=90
60-15=45             90÷2=45
解法一学生的的思考是：将“减数+差”替换成“被减数”，120里面就是两个被减数的和，除以2之后得到一个“被减数”，在减去15就得到了差。这是大部分学生的思考。
解法二学生的思考是：将“被减数”替换成“减数+差”，120里面有2个“减数+差”，先去掉2个“差”得到2个“减数”，再除以2得到1个“减数”。
只有在具体的认识和使用“策略”的过程中，学生的策略意识才能得到强化，笔者选用这个题目是让学生进一步体会到用替换策略解决问题的核心是寻找其中的等量关系，进一步理解用替换策略解决问题的价值，培养学生抽象思维能力、分析推理能力。对于解法二，笔者课前还没有预设到，通过交流可以发现，学生对等量关系关系有了较深的理解。
五、总结反思，提升策略：
1、师：今天我解决的这些问题有什么共同点？是怎样解决的？
引导学生理解：题目中有两种或两种以上的不同的量，它们之间有一定的关系，可以相互转化，这样解决问题的策略就是替换的策略。
2、师：古时候有一个《曹冲称象》的故事，能让你想到什么呢？
生1：大象的重量不能直接称出来，可以用石头的重量来替换。
生2：我还想到求土豆的体积的时候，可以将土豆放在水里测量，用水的体积替换土豆的体积。
……
3、师：对，替换的策略在我们生活中运用很多，我们要学会留心观察。其实解决问题的策略还有很多，比如：画图、列表、倒推等，我们要根据实际情况进行选择策略。同学们在以后还会学习到很多策略，相信大家的本领也会越来越多。
 
三、结论与建议
《数学课程标准》（实验稿）中提出：学生的应用意识表现在“面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略。”《解决问题的策略》的教学不仅仅是利用策略来解决问题，更重要的是让学生根据问题选择合适的策略来解决。因此在教学总结时引导学生反思：用替换策略解决的问题有哪些特点，哪些特定的情境的问题可以选择替换的策略，可以提升学生的策略意识。